역도함수표
부정적분에 대한 완전한 참조 가이드
기본 역도함수
| 함수 \(f(x)\) | 역도함수 \(F(x)\) | 영역 |
|---|---|---|
| \(k\) (상수) | \(kx + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (단, \(n \ne -1\)) | \(\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) | \(\mathbb{R}\) (만약 \(n \geq 0\)), \(\mathbb{R}, x \neq 0\) (만약 \(n < 0\)) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x}\) | \(\ln|x| + C\) | \(\mathbb{R}, x \neq 0\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\displaystyle\frac{2\sqrt{x^3}}{3} + C\) | \(x \geq 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x} + C\) | \(x > 0\) |
| \(e^x\) | \(e^x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(a^x\) (단, \(a > 0, a \ne 1\)) | \(\displaystyle\frac{a^x}{\ln a} + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\ln x\) | \(x \ln x - x + C\) | \(x > 0\) |
| \(\log_a x\) | \(\displaystyle\frac{x \ln x - x}{\ln a} + C\) | \(x > 0, a > 0, a \ne 1\) |
함수 f(x)
\(k\) (상수)
역도함수 F(x)
\(kx + C\)
영역
\(\mathbb{R}\)
함수 f(x)
\(x^n\) (단, \(n \ne -1\))
역도함수 F(x)
\(\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
영역
\(\mathbb{R}\) (만약 \(n \geq 0\)), \(\mathbb{R}, x \ne 0\) (만약 \(n < 0\))
함수 f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{x}\)
역도함수 F(x)
\(\ln|x| + C\)
영역
\(\mathbb{R}, x \ne 0\)
함수 f(x)
\(\sqrt{x}\)
역도함수 F(x)
\(\displaystyle\frac{2\sqrt{x^3}}{3} + C\)
영역
\(x \geq 0\)
함수 f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\)
역도함수 F(x)
\(2\sqrt{x} + C\)
영역
\(x > 0\)
함수 f(x)
\(e^x\)
역도함수 F(x)
\(e^x + C\)
영역
\(\mathbb{R}\)
함수 f(x)
\(a^x\) (단, \(a > 0, a \ne 1\))
역도함수 F(x)
\(\displaystyle\frac{a^x}{\ln a} + C\)
영역
\(\mathbb{R}\)
함수 f(x)
\(\ln x\)
역도함수 F(x)
\((x \ln x - x) + C\)
영역
\(x > 0\)
함수 f(x)
\(\log_a x\)
역도함수 F(x)
\(\displaystyle\frac{x \ln x - x}{\ln a} + C\)
영역
\(x > 0, a > 0, a \ne 1\)
삼각 함수
| 함수 \(f(x)\) | 역도함수 \(F(x)\) | 영역 |
|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(-\cos x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\tan x\) | \(-\ln|\cos x| + C\) | \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\cot x\) | \(\ln|\sin x| + C\) | \(x \ne \pi n\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x\) | \(\tan x + C\) | \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x\) | \(-\cot x + C\) | \(x \ne \pi n\) |
| \(\sin^2 x\) | \(\displaystyle\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos^2 x\) | \(\displaystyle\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x \cos x\) | \(\displaystyle\frac{\sin^2 x}{2} + C = -\frac{\cos^2 x}{2} + C\) | \(\mathbb{R}\) |
함수 f(x)
\(\sin x\)
역도함수 F(x)
\(-\cos x + C\)
영역
\(\mathbb{R}\)
함수 f(x)
\(\cos x\)
역도함수 F(x)
\(\sin x + C\)
영역
\(\mathbb{R}\)
함수 f(x)
\(\tan x\)
역도함수 F(x)
\(-\ln|\cos x| + C\)
영역
\(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\)
함수 f(x)
\(\cot x\)
역도함수 F(x)
\(\ln|\sin x| + C\)
영역
\(x \ne \pi n\)
함수 f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x\)
역도함수 F(x)
\(\tan x + C\)
영역
\(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\)
함수 f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x\)
역도함수 F(x)
\(-\cot x + C\)
영역
\(x \ne \pi n\)
함수 f(x)
\(\sin^2 x\)
역도함수 F(x)
\(\displaystyle\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\)
영역
\(\mathbb{R}\)
함수 f(x)
\(\cos^2 x\)
역도함수 F(x)
\(\displaystyle\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C\)
영역
\(\mathbb{R}\)
함수 f(x)
\(\sin x \cos x\)
역도함수 F(x)
\(\displaystyle\frac{\sin^2 x}{2} + C\)
영역
\(\mathbb{R}\)
역삼각 함수
| 함수 \(f(x)\) | 역도함수 \(F(x)\) | 영역 |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arcsin x + C\) | \(-1 < x < 1\) |
| \(\displaystyle-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arccos x + C\) | \(-1 < x < 1\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}\) | \(\arctan x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\displaystyle-\frac{1}{1+x^2}\) | \(\text{arccot } x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\arcsin x\) | \(x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\) | \(-1 \leq x \leq 1\) |
| \(\arccos x\) | \(x \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\) | \(-1 \leq x \leq 1\) |
| \(\arctan x\) | \(x \arctan x - \displaystyle\frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C\) | \(\mathbb{R}\) |
함수 f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
역도함수 F(x)
\(\arcsin x + C\)
영역
\(-1 < x < 1\)
함수 f(x)
\(\displaystyle-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
역도함수 F(x)
\(\arccos x + C\)
영역
\(-1 < x < 1\)
함수 f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}\)
역도함수 F(x)
\(\arctan x + C\)
영역
\(\mathbb{R}\)
함수 f(x)
\(\displaystyle-\frac{1}{1+x^2}\)
역도함수 F(x)
\(\text{arccot } x + C\)
영역
\(\mathbb{R}\)
함수 f(x)
\(\arcsin x\)
역도함수 F(x)
\(x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\)
영역
\(-1 \leq x \leq 1\)
함수 f(x)
\(\arccos x\)
역도함수 F(x)
\(x \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\)
영역
\(-1 \leq x \leq 1\)
함수 f(x)
\(\arctan x\)
역도함수 F(x)
\(x \arctan x - \displaystyle\frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C\)
영역
\(\mathbb{R}\)
유용한 역도함수
| 함수 \(f(x)\) | 역도함수 \(F(x)\) | 영역 |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}\) | \(\ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}\) | \(\ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C\) | \(|x| > a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\) | \(\arcsin\displaystyle\frac{x}{a} + C\) | \(|x| < a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^2 - a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C\) | \(x \ne +a, x \ne -a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{a^2 - x^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2a} \ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C\) | \(x \ne +a, x \ne -a\) |
| \(\sqrt{a^2 - x^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C\) | \(-a \leq x \leq a\) |
| \(\sqrt{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln(x + \sqrt{x^2+a^2}) + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sqrt{x^2 - a^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\ln|x + \sqrt{x^2-a^2}| + C\) | \(|x| \geq a\) |
| \(xe^x\) | \((x-1)e^x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x\sin x\) | \(\sin x - x\cos x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x\cos x\) | \(\cos x + x\sin x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
함수 f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}\)
역도함수 F(x)
\(\ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C\)
영역
\(\mathbb{R}\)
함수 f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}\)
역도함수 F(x)
\(\ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C\)
영역
\(|x| > a\)
함수 f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\)
역도함수 F(x)
\(\arcsin\displaystyle\frac{x}{a} + C\)
영역
\(|x| < a\)
함수 f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{x^2 + a^2}\)
역도함수 F(x)
\(\displaystyle\frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C\)
영역
\(\mathbb{R}\)
함수 f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{x^2 - a^2}\)
역도함수 F(x)
\(\displaystyle\frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C\)
영역
\(x \ne +a, x \ne -a\)
함수 f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{a^2 - x^2}\)
역도함수 F(x)
\(\displaystyle\frac{1}{2a} \ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C\)
영역
\(x \ne +a, x \ne -a\)
함수 f(x)
\(xe^x\)
역도함수 F(x)
\((x-1)e^x + C\)
영역
\(\mathbb{R}\)
함수 f(x)
\(x\sin x\)
역도함수 F(x)
\(\sin x - x\cos x + C\)
영역
\(\mathbb{R}\)
함수 f(x)
\(x\cos x\)
역도함수 F(x)
\(\cos x + x\sin x + C\)
영역
\(\mathbb{R}\)
기본 적분 규칙
선형성:
\(\displaystyle\int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx\)
\(\displaystyle\int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx\)
부분 적분:
\(\displaystyle\int u \, dv = uv - \int v \, du\)
\(\displaystyle\int u \, dv = uv - \int v \, du\)
치환:
\(\displaystyle\int f(\varphi(x))\varphi'(x) dx = \int f(u) du\), 단 \(u = \varphi(x)\)
\(\displaystyle\int f(\varphi(x))\varphi'(x) dx = \int f(u) du\), 단 \(u = \varphi(x)\)
짝함수:
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx\) (만약 \(f(-x) = f(x)\))
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx\) (만약 \(f(-x) = f(x)\))
홀함수:
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0\) (만약 \(f(-x) = -f(x)\))
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0\) (만약 \(f(-x) = -f(x)\))
중요 사항
• \(C\)는 임의의 적분 상수
• 모든 역도함수는 상수 \(C\)까지 결정됩니다
• 정적분 계산 시, 상수 \(C\)는 상쇄됩니다
• 영역은 피적분 함수의 영역을 의미합니다
• \(\mathbb{R}\)은 모든 실수 집합을 나타냅니다
유용한 기술
삼각 치환:
• \(\sqrt{a^2 - x^2}\)의 경우: \(x = a\sin t\)
• \(\sqrt{x^2 + a^2}\)의 경우: \(x = a\tan t\)
• \(\sqrt{x^2 - a^2}\)의 경우: \(x = a\sec t\)
• \(\sqrt{a^2 - x^2}\)의 경우: \(x = a\sin t\)
• \(\sqrt{x^2 + a^2}\)의 경우: \(x = a\tan t\)
• \(\sqrt{x^2 - a^2}\)의 경우: \(x = a\sec t\)
유리함수 적분:
부분 분수로 분해하여 각각 적분합니다
부분 분수로 분해하여 각각 적분합니다
미적분학의 기본 정리:
\(\displaystyle\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\), 단, \(F'(x) = f(x)\)
\(\displaystyle\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\), 단, \(F'(x) = f(x)\)
바이어슈트라스 치환:
\(t = \tan\frac{x}{2}\)이면, \(\sin x = \frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}\)
\(t = \tan\frac{x}{2}\)이면, \(\sin x = \frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}\)
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부정적분표 - 전체 참조 가이드
이 포괄적인 부정적분표는 부정적분에 대한 완벽한 참조 가이드 역할을 하며, 특정 수학 함수와 그 부정적분을 빠르게 찾을 수 있는 고급 검색 시스템을 제공합니다. 이 표는 모든 주어진 함수 f(x)에 대한 부정적분 F(x)를 찾을 수 있는 기본적인 미적분학 연산을 다룹니다.
수학적 기초
함수 f(x)의 부정적분은 미분하면 원래 함수가 되는 함수 F(x)입니다. 관계는 다음과 같이 표현됩니다:
F'(x) = f(x), 따라서 ∫f(x)dx = F(x) + C
여기서 C는 적분 상수를 나타냅니다.
표 기능
• 스마트 검색 시스템: "sin", "logarithm", "square root"와 같은 키워드를 입력하여 즉시 결과를 필터링합니다.
• 모바일 반응형 디자인: 적응형 카드 레이아웃으로 모든 장치에서 최적화된 보기 제공
• 도메인 정보: 각 항목에는 함수에 대한 유효한 도메인이 포함됩니다.
• 수학적 표기법: 정확한 수학적 표현을 위한 전문적인 LaTeX 렌더링
• 분류된 섹션: 체계적인 참조를 위해 함수 유형별로 구성
다루는 함수 범주
이 표에는 네 가지 주요 함수 범주가 포함됩니다:
기본 함수: 거듭제곱 함수 (xn), 지수 함수 (ex, ax), 로그 함수 (ln x, loga x), 그리고 제곱근 함수 (√x, 1/√x).
삼각 함수: sin x, cos x, tan x, cot x, 및 이들의 제곱 (sin²x, cos²x)을 포함한 표준 삼각 함수입니다.
역삼각 함수: arcsin, arccos, arctan, 및 1/√(1-x²), 1/(1+x²)와 같은 관련 표현식을 포함하는 부정적분입니다.
고급 함수: 근호 (√(x²±a²)), 유리 함수 (1/(x²±a²)), 그리고 xex, x sin x와 같은 곱셈을 포함하는 복잡한 표현입니다.
사용 예
1. ∫x³ dx 찾기 → 결과: x⁴/4 + C
2. ∫sin x dx 찾기 → 결과: -cos x + C
3. ∫1/x dx 찾기 → 결과: ln|x| + C
4. ∫e^x dx 찾기 → 결과: e^x + C
5. ∫1/√(1-x²) dx 찾기 → 결과: arcsin x + C
6. ∫1/(1+x²) dx 찾기 → 결과: arctan x + C
7. ∫√x dx 찾기 → 결과: (2√x³)/3 + C
8. ∫cos²x dx 찾기 → 결과: x/2 + sin(2x)/4 + C
9. ∫ln x dx 찾기 → 결과: x ln x - x + C
10. ∫tan x dx 찾기 → 결과: -ln|cos x| + C
검색 기능
통합 검색 시스템은 여러 입력 형식과 동의어를 인식합니다. 수학 용어(sine, cosine, logarithm), 약어(sin, cos, ln) 또는 설명 용어(square root, exponential)를 사용하여 검색할 수 있습니다. 검색은 모든 범주에서 일치하는 항목을 즉시 강조 표시하여 특정 부정적분을 효율적으로 찾을 수 있도록 합니다.
적분 규칙 참조
이 표에는 선형성 속성, 부분 적분 공식, 치환법, 짝수 및 홀수 함수에 대한 특수 속성과 같은 필수 적분 규칙도 포함되어 있습니다. 이러한 규칙은 부정적분 공식과 상호 보완적으로 작용하여 완전한 적분 참조를 제공합니다.